Satellitenbahnen

Bahnbeschreibung: Keplersche Bahnelemente

Die Planeten folgen den Keppler's Laws und können durch die Keplerschen Bahnelemente beschrieben werden.

Bahndaten

GPS Almanach-Daten

Es sing ungefähre Bahninformationen (einige Kilometer genau), die in der Navigations Message übermittelt werden. Diese Informationen dienen dem Empfänger zu Planung

GPS Almanach Parameter

Parameter	Beschreibung
ID	PRN Satellitennummer
WEEK	GPS-Woche
$t_{a}$	Almanach-Referenzepoche in Sekunden in der momentanen GPS-Woche
$\sqrt{a}$	Quadratwurzel der großen Halbachse ( $\sqrt{m}$ )
$e$	Numerische Exzentrizität
$M_{0}$	Mittlere Anomalie zur Referenzepoche $t_{a}$
$ω$	Perigäumsabstand
$δ i$	Differenz in der Bahnneigung gegenüber 54 Grad
$Ω_{0}$	Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens zur Referenzepoche $t_{a}$
$\dot{Ω}$	Knotendrehung (rad/s)
$a_{0}$	Satellitenuhroffset (s)
$a_{1}$	Satellitenuhrdrift (s/s)

Berechnungsformeln

M = M_{0} + n (t - t_{a}), n = \sqrt{\frac{G M}{a^{3}}}

i = 54^{\circ} + δ i

Ω = Ω_{0} + \dot{Ω} (t - t_{a}) - ω_{E} (t - t_{0})

δ^{s} = a_{0} + a_{1} (t - t_{a})

54° für i vorgegeben um Stelle zu sparen
$ω_{E}$ für die Umrechnung ins erdfeste KS
$\dot{Ω} \sim 14^{\circ} / Jahr$
Annahme Kreisbahn $e = 0$

GPS Broadcast Ephemerides

Diese werden von der Master Control Station aus Code-Beobachtungen berechnet, die von mindestens 5 Monitorstationen kommen. Die Extrapolation ist für die nächsten 12-36 Stunden. Alle 2 Stunden werden die neu gerechnet und zu den Satelliten geschickt. Vom Satelliten wird die nun zum Nutzer ausgesandt. Die Genauigkeit hier ist ungefähr 2 m (RMS).

Inhalt der GPS Ephemeriden

Parameter	Beschreibung
ID	PRN Satellitennummer
WEEK	GPS-Woche
$t_{e}$	Referenzepoche der Ephemeriden
$\sqrt{a}$	Quadratwurzel der großen Halbachse ( $\sqrt{m}$ )
$e$	Numerische Exzentrizität
$M_{0}$	Mittlere Anomalie zur Referenzepoche $t_{e}$
$ω$	Perigäumsabstand
$i_{0}$	Bahnneigung zur Referenzepoche $t_{e}$
$Ω_{0}$	Rektaszension des aufsteigenden Bahnknotens zur Referenzepoche $t_{e}$
$Δ n$	Korrektur der mittleren Bewegung $n$
$\dot{i}$	Änderung der Bahnneigung
$\dot{Ω}$	Knotendrehung (rad/s)
$C_{u c}, C_{u s}$	Korrekturterme (Argument der Breite $u$ )
$C_{r c}, C_{r s}$	Korrekturterme (geozentrische Distanz $r$ )
$C_{i c}, C_{i s}$	Korrekturterme (Bahnneigung $i$ )
$t_{c}$	Referenzepoche der Satellitenuhrkorrektur
$a_{0}$	Satellitenuhrffset (s)
$a_{1}$	Satellitenuhrdrift (s/s)
$a_{2}$	Satellitenfrequenzdrift (s/s $^{2}$ )

$Δ n, \dot{i}$ und $\dot{Ω}$ sind säkulare und $C_{u c}, C_{u s}, C_{r c}, C_{r s}, C_{i c}$ und $C_{i s}$ sind periodische Störterme aufgrund der Abplattung der Erde, der Gezeitenwirkung und des Strahlungsdrucks.
Die Satellitenuhrkorrektur zur Zeit $t$ ist gegeben durch:

δ^{S} = a_{0} + a_{1} (t - t_{c}) + a_{2} (t - t_{c})^{2}

Koordinaten Berechnungen aus GPS Ephemeriden

Variable / Formula	Description
$μ = 3.986008 \times 10^{14} m^{3} / {sec}^{2}$	WGS 72 value of the earth's universal gravitational parameter
${\dot{Ω}}_{e} = 7.292115147 \times 10^{- 5} rad/sec$	WGS 72 value of the earth's rotation rate
$A = (\sqrt{A})^{2}$	Semi-major axis
$n_{0} = \sqrt{\frac{μ}{A^{3}}}$	Computed mean motion
$t_{k} = t - t_{o e}$	Time from epoch
$n = n_{0} + Δ n$	Corrected mean motion
$M_{k} = M_{0} + n t_{k}$	Mean anomaly
$M_{k} = E_{k} - e \sin E_{k}$	Kepler's equation for eccentric anomaly
$\cos v_{k} = (\cos E_{k} - e) / (1 - e \cos E_{k})$	True anomaly (cosine)
$\sin v_{k} = \sqrt{1 - e^{2}} \sin E_{k} / (1 - e \cos E_{k})$	True anomaly (sine)
$ϕ_{k} = v_{k} + ω$	Argument of latitude
$δ u_{k} = C_{u s} \sin 2 ϕ_{k} + C_{u c} \cos 2 ϕ_{k}$	Argument of latitude correction (2nd harmonic)
$δ r_{k} = C_{r c} \cos 2 ϕ_{k} + C_{r s} \sin 2 ϕ_{k}$	Radius correction (2nd harmonic)
$δ i_{k} = C_{i c} \cos 2 ϕ_{k} + C_{i s} \sin 2 ϕ_{k}$	Correction to inclination (2nd harmonic)
$u_{k} = ϕ_{k} + δ u_{k}$	Corrected argument of latitude
$r_{k} = A (1 - e \cos E_{k}) + δ r_{k}$	Corrected radius
$i_{k} = i_{0} + δ i_{k}$	Corrected inclination
$x_{k}^{'} = r_{k} \cos u_{k}$	Position in orbital plane (x)
$y_{k}^{'} = r_{k} \sin u_{k}$	Position in orbital plane (y)
$Ω_{k} = Ω_{0} + (\dot{Ω} - {\dot{Ω}}_{e}) t_{k} - {\dot{Ω}}_{e} t_{o e}$	Corrected longitude of ascending node
$x_{k} = x_{k}^{'} \cos Ω_{k} - y_{k}^{'} \cos i_{k} \sin Ω_{k}$	Earth fixed coordinates (x)
$y_{k} = x_{k}^{'} \sin Ω_{k} + y_{k}^{'} \cos i_{k} \cos Ω_{k}$	Earth fixed coordinates (y)
$z_{k} = y_{k}^{'} \sin i_{k}$	Earth fixed coordinates (z)

GLONASS Ephimeriden

Bei GLONASS werden nicht Keplersche Elemente sondern Orts- und Geschwindigkeitsvektoren und Zusatsinformationen gegeben.

Bahnprodukte des IGS

Werden bereitgestellt vom International GNSS Service seit 1992. Es werden Phasenbeobachtungen für die Bahnbestimmung verwendet und es wird eine gewichtete Kombination aus 10 individuellen Analysezentren genutzt. Die erreichbare Genauigkeit und Verfügbarkeithängt vom jeweiligen Produkt ab:

IGS-Produkt	Verfügbarkeit	Genauigkeit
Final Orbits	13 Tage	~ 2 cm
Rapid Orbits	17 Stunden	< 5 cm
Ultra-rapid (observed half)	3 Stunden	< 5 cm
Ultra-rapid (predicted half)	Echtzeit	10 cm
Broadcast Orbits	Echtzeit	200 cm
Almanach Orbits	Echtzeit	einige km

Einfluss der Bahnqualität auf die Stationskoordinaten

Bei absoluter Positionierung ist der Fehler direkt eins-zu-eins.

Bei relativer Positionierung ist der Fehler abhängig von der Basislinienlänge. Es gibt eine Formel dafür:

Δ r = \frac{l}{ρ} Δ R \approx \frac{l}{25^{'} 000 km} Δ R

$Δ r$ Fehler in der Basislinie
$l$ Basislinienlänge
$ρ$ mittlere Distanz zu den GNSS-Satelliten
$Δ R$ Bahnfehler der GNSS-Satelliten

Bahnfehler	Baselinienlänge	Fehler in der Basislinie
2.5 m	10 km	1 mm
2.5 m	100 km	10 mm
2.5 m	1000 km	100 mm
0.25 m	100 km	1 mm
0.25 m	1000 km	10 mm
0.05 m	100 km	- mm
0.05 m	1000 km	2 mm