Relativistische Effekte

Wegen der hohen Genauigkeit von GNSS Messungen (Phase: 1-2 mm ~3-6 ps) müssen relativistische Effekte berücksichtigt werden.

Es werden beide relativistischen Effekte beachtet:

Spezielle Relativitätstheorie (SRT):
- Annahme: unbeschleunigter Beobachter
- Invarianz der Lichtgeschwindigkeit:
  - Die Lichtgeschwindigkeit ist immer gleich gross, egal in welchem Bezugssystem man sich befindet.
- Dies bewirkt Zeitdilatation
- Resultierende Effekte: Uhr im Satelliten läuft langsamer, Sagnac Effekt, Relativistischer Dopplereffekt
Allgemeine Relativitätstheorie (ART):
- Massen krümmen die Raumzeit und jedes Objekt bewegt sich in dieser gekrümmten Raumzeit auf kürzestem Weg von A nach B.
- Dies bewirkt ein gravitative Zeitdilatation (gravitational Redshift)
- Resultierende Effekte: Uhr läuft schneller im Satelliten, Shapiro-Effekt, Perigäumsdrehung, deSitter Präzession, Lense-Thirring-Effekt

Einfluss auf die Satelliten- und Empfängeruhr

ART: Aufgrund des schwächeren Gravitationsfeldes in der Höhe der GNSS-Satelliten laufen die Satellitenuhren um etwa $45 \frac{μ s}{Tag}$ schneller als auf der Erde.

SRT: Wegen der relativen Bewegung der Satelliten läuft die Uhr im Satelliten um $8 \frac{μ s}{Tag}$ langsamer als auf der Erde.

Resultierende Frequenzänderung:

\frac{Δ f}{f_{0}} = \frac{f - f_{0}}{f_{0}} = \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} + \frac{Δ U}{c^{2}}

$f_{0}$ vom Empfänger empfangene Frequenz
$f$ vom Satelliten ausgesendete Frequenz
$v$ Geschwindigkeit des Satelliten im Raumfesten System (rund 4 km/s)
$Δ U$ Potenzialdifferenz zwischen Satellit und Empfänger

Relativistische Effekte-1.png

Einfluss auf die Satellitenbahnen

In einer gekrümmten Raumzeit kommt es zu zusätzlichen Beschleunigungen des Satelliten:

a_{r e l} = - \frac{G M}{c^{2} r^{3}} {[2 (β + γ) \frac{G M}{r} - γ {\dot{r}}^{2}] r + 2 (1 + γ) (r \cdot \dot{r}) \dot{r}}

Diese Beschleunigung ist in der Grössenordnung von $| a_{r e l} | = 3 \cdot 10^{- 10} \frac{m}{s^{2}}$

Einfluss auf die Signalausbreitung

Das Signal wird durch den Gradienten im Gravitationspotential abgelenkt. Die resultierende Distanzkorrektur lässt sich wie folgt berechnen:

δ ρ_{A, r e l, 2}^{j} = \frac{2 G M}{c^{2}} \ln (\frac{r^{j} + r_{A} + ρ_{A}^{j}}{r^{j} + r_{A} - ρ_{A}^{j}})

Die Shapiro-Korrektur beträgt maximal 2 cm und wird separat für jede Beobachtung berechnet.