Die Hauptreihe und ihre Sterne

Energiequelle normaler Sterne

Ein Stern bekommt seine Energie durch Kernfusion im Inneren.

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Die Kern fusion get von Links im Diagramm nach rechts und endet bei Eisen als Maximum. Es können keine schwereren Elemente als Eisen fusioniert werden, in der gewöhnlichen Fusion, da dadurch keine weitere Energie freigesetzt werden würde.

Kernfusion im Sterninnern

Im Inneren gibt es entweder die pp-Kette oder den CNO-Zyklus.

Sterne auf der Hauptreihe-1.png

In der pp-Kette fusionieren Protonen über mehrere Reaktionszweige zu Helium, hingegen im CNO-Zyklus fusionieren vier Protonen in einer zyklischen Reaktionsfolge mit C, N und O als Katalysator.

Der Anteil von pp-Kette und CNO-Zyklus hängt empfindlich von der Zentraltemperatur des Sterns ab.

Sterne auf der Hauptreihe-2.png

Sternenaufbau

Ein Stern ist eine Gaskugel, die sich in einem stabilen Gleichgewicht befindet. Die Struktur wird durch die sogenannten Sternaufbaugleichungen beschrieben, die das Verhalten von Masse, Druck und Energie festlegen.

Hydrostatisches Gleichgewicht: $\frac{d P}{d r}$

Dieses Prinzip beschreibt das mechanische Gleichgewicht. Die nach innen gerichtete Gravitation wird durch den nach aussen gerichteten Gas- und Strahlungsdruck kompensiert.

\frac{d P}{d r} = - \frac{G \cdot M (r) \cdot ρ (r)}{r^{2}}

Bedeutung: Der Druckgradient gibt an, wie stark der Druck nach aussen abfallen muss, um das Gewicht der darüberliegenden Schichten zu tragen. Ein stabiler Stern ist "hydrostatisch", solange sich diese Kräfte exakt aufheben.

2. Massenerhaltung: $\frac{d M}{d r}$

Diese Gleichung definiert die Massenverteilung innerhalb des Sterns.

\frac{d M}{d r} = 4 π r^{2} ρ (r)

Bedeutung: Die Masse $M (r)$ nimmt mit dem Radius $r$ zu, abhängig von der lokalen Dichte $ρ$ . Integriert man diese Gleichung vom Zentrum bis zum Radius $R$ , erhält man die Gesamtmasse des Sterns.

3. Zustandsgleichung des Gases: $P (ρ, T)$

Die Zustandsgleichung verknüpft die mechanischen Grössen (Druck, Dichte) mit der thermischen Grösse (Temperatur). In Sternen wie der Sonne wird meist das Ideale Gasgesetz verwendet, oft ergänzt durch den Strahlungsdruck.

P \approx \frac{ρ \cdot k_{B} \cdot T}{μ \cdot m_{H}} + \frac{1}{3} a T^{4}

Komponenten: * Der erste Term ist der kinetische Gasdruck (Teilchenkollisionen).
- Der zweite Term ist der Strahlungsdruck (Photonendruck), der vor allem in sehr heissen, massereichen Sternen dominiert.

4. Energieerzeugung: $\frac{d L}{d r}$

Diese Gleichung beschreibt, wie die Leuchtkraft $L$ im Inneren des Sterns durch Kernfusion entsteht.

\frac{d L}{d r} = 4 π r^{2} ρ (r) \cdot ϵ

Bedeutung: $ϵ$ ist die Energieerzeugungsrate pro Kilogramm Materie. Da die Fusion (z. B. Proton-Proton-Kette) extrem temperaturabhängig ist, findet die Energieerzeugung fast ausschliesslich im innersten Kern statt.

5. Energietransport: $\frac{d T}{d r}$

Damit die Energie vom Kern zur Oberfläche gelangt, muss ein Temperaturgefälle vorliegen. Der Transport erfolgt meist durch Strahlung (Diffusion von Photonen) oder Konvektion (Aufsteigen heisser Materieblasen).

Gleichung für Strahlungstransport:

\frac{d T}{d r} = - \frac{3}{4 a c} \cdot \frac{κ ρ}{T^{3}} \cdot \frac{L (r)}{4 π r^{2}}

Bedeutung: Die Opazität $κ$ beschreibt den Widerstand, den die Materie dem Strahlungsfluss entgegensetzt. Ist $κ$ zu hoch (Materie zu undurchsichtig), wird der Gradient so steil, dass der Stern auf Konvektion umschaltet.

Planck'sche Strahlung

Ein Stern ist in Annäherung ein sehr guter Schwarzkörper Strahler. Die spektrale Intensitätsverteilung kann durch die Planck'sche Funktion angenähert werden:

\begin{aligned} B_{λ} (T) & = \frac{2 h c^{2}}{λ^{5}} \frac{1}{e^{h c / k λ T} - 1} d λ \\ B_{ν} (T) & = \frac{2 h ν^{3}}{c^{2}} \frac{1}{e^{h ν / k T} - 1} d ν \end{aligned}

$B_{λ} (T)$ : Spectral radiance as a function of wavelength
$B_{ν} (T)$ : Spectral radiance as a function of frequency
$h$ : Planck constant
$c$ : Speed of light in vacuum
$λ$ : Wavelength of the radiation
$ν$ : Frequency of the radiation
$k$ : Boltzmann constant
$T$ : Absolute temperature

Ergänzt wird das ganze durch das Wien'sche Verschiebungsgesetz

λ_{m a x} \cdot T = 2.898 m \cdot K

und das Stefan-Boltzmann Gesetz

Φ = π \int_{0}^{\infty} B_{λ} (T) d λ = σ T^{4}

$Φ$ : Total radiant flux (energy emitted per unit area per unit time)
$\int_{0}^{\infty} \dots d λ$ : Integral over all possible wavelengths
$B_{λ} (T)$ : Spectral radiance (Planck's Law)
$σ$ : Stefan-Boltzmann constant
$T$ : Absolute temperature in Kelvin

Sterne auf der Hauptreihe-3.png

Leuchtkraft und Helligkeit

Die Leuchtkraft eines Sterns kann beschrieben werden durch:

L = 4 π R^{2} σ T^{4}

$L$ : Luminosity (total power output in Watts or erg/s)
$4 π R^{2}$ : Surface area of a sphere with radius $R$
$R$ : Radius of the star
$σ$ : Stefan-Boltzmann constant
$T$ : Effective surface temperature

Oft wird die Leuchtkraft relativ zu der, der Sonne angegeben $L_{s u n} = 3.85 \cdot 10^{26} Watt$

Die scheinbare Helligkeit von uns hängt von der Distanz $d$ zum Objekt ab:

Φ = \frac{L}{4 π d^{2}}

Es kann auch eine scheinbare Helligkeit $m$ definiert werden, hier ist der Nullpunkt Vega:

m_{1} - m_{2} = - 2.5 \log (\frac{Φ_{1}}{Φ_{2}})

Farbindex

Die scheinbare Helligkeit eines Sterns is abhängig von der beobachteten Wellenlänge. Im photometrischem System (UVB-System), misst man 3 Wellenlängenbereiche:

U: $λ = 3650 Å$ (ultraviolett)
B: $λ = 4400 Å$ (blau)
V: $λ = 5480 Å$ (visuell)

Spektralklassifikation

Die Sterne lassen sich nach ihren Absorptionslinien im spektralen Kontinuum ordnen.

Die Stärke bestimmter Linien bestimmt die Klasse.
Von O nach M nimmt die Temperatur und Masse der Sterne ab.
Zusätzlich wird jede Klasse in 10 Subklassen unterteilt (z.B. G0-G9).
Die Sonne ist ein G2 Stern.

Symbol	$T$ [K]	Charakteristik
O	$> 30000$	Ionisiertes He stärker als neutrales He
B	$11000 - 30000$	Ionisiertes He schwächer als neutrales He
A	$7200 - 11000$	starke H Linien
F	$6000 - 7200$	starke CaII, H schwach, schwache neutrale Metalle
G	$5200 - 6000$	starke CaII, starke Metalle (FeI, FeII)
K	$3500 - 5200$	CaII schwach, starke Metalle
M	$< 3500$	starke neutrale Metalle, Molekülabsorptionslinien

Leuchtkraftklassen

Die Sterne können anhand ihrer Leuchtkraft in verschiedene Klassen eingeteilt werden, welche mit römischen Zahlen abgekürzt werden.

Überriesen: $Ia, Ib$
Helle Riesen: $II$
Riesen: $III$
Unterriesen: $IV$
Hauptreihensterne: $V$
Die Sonne ist somit ein G2 $V$ Stern.

Das Herzsprung-Russell Diagramm

Das Diagramm lässt die Sterne in Leuchtkraft gegen Temperatur einteilen. Deutlich zu sehen ist die Hauptreihe, die Riesen und Überriesen, und weiter die weissen Zwerge.

Massen der Sterne

Nach dem 3. Kepler'schen Gesetz gilt:

\frac{a^{3}}{P^{2}} = \frac{G}{4 π^{2}} (m_{1} + m_{2})

Daraus kann die Masse-Leuchtkraft Beziehung gebildet werden:

\begin{aligned} \frac{L}{L_{⊙}} & \approx {(\frac{M}{M_{⊙}})}^{4} für 0.4 M_{⊙} < M < 10 M_{⊙} \\ \frac{L}{L_{⊙}} & \approx {(\frac{M}{M_{⊙}})}^{2.3} für M < 0.4 M_{⊙} \end{aligned}

$L$ : Total luminosity of the star
$L_{⊙}$ : Solar luminosity (luminosity of the Sun)
$M$ : Total mass of the star
$M_{⊙}$ : Solar mass (mass of the Sun)

Wie auch eine Regel für die Lebensdauer:

τ \sim \frac{M}{L} \sim \frac{M}{M^{4}} = \frac{1}{M^{3}} für M > 0.4 M_{⊙}

$τ$ : Stellar lifetime on the main sequence

Parameter der Hauptreihen-Sterne

	O5V	B0V	A0V	G0V	M0V	M8V
$M / M_{sun}$	60	18	3.0	1.1	0.50	0.06
$R / R_{sun}$	12	7.5	2.5	1.1	0.50	0.10
$T_{eff}$ [K]	41000	30000	9500	6000	3800	2600
$t_{H-He}$ [years]	$8 \times 10^{5}$	$4 \times 10^{6}$	$6 \times 10^{8}$	$7 \times 10^{9}$	$6 \times 10^{10}$	$5 \times 10^{11}$
$L / L_{sun}$	$8 \times 10^{6}$	$7 \times 10^{4}$	54	1.5	$8 \times 10^{- 2}$	$1.2 \times 10^{- 3}$