Beobachtungsgleichung

GNSS Beobachtungsgrössen

Code Pseudorange (m) zwischen Satellit und Empfänger
Doppler (Hz) Verschiebung des ankommenden Signals
Trägerphase (Cycles) des ankommenden Signals
Signal-Rausch-Verhältnis (dB-Hz) des ankommenden Signals

Diese vier Beobachtungsgrössen werden für jedes empfangene Signal vom Empfänger bestimmt. Alle Beobachtungsgrössen werden auf ein Referenzzeitsystem bezogen. Werden mehrere Signale (unterschiedliche Satelliten) gleichzeitig beobachtet, beziehen sich diese alle auf exakt dieselbe Epoche. Das Messprinzip wird durch die Beobachtungsgleichung beschrieben.

Prinzip der GNSS Code-Messung

Im Empfänger wird ein Vergleichsignal erzeugt das mit dem empfangenen Signal korreliert wird. Daraus wird die Zeitdifferenz gemessen werden $Δ T = T_{r} - T^{s}$ . Multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit wird daraus die Pseudorange (Code-Messung)

Code-Beobachtungsgleichung

Da der Aussendezeitpunkt des Signals in Satellitenzeit und der Zeitpunkt der Ankunft des Signals in Empfängerzeit gemessen wird, müssen wir etwaige Synchronisationsfehler zwischen den Uhren noch korrigiert werden. Dazu wird der Empfänger- ( $δ t_{r}$ ) und Satellitenuhrfehler ( $δ t^{s}$ ) eingeführt.

\begin{aligned} P_{r}^{s} & = c (T_{r} - T^{s}) \\ = c (t_{r} + δ t_{r} - t^{s} - δ t^{s}) \\ = c (t_{r} - t^{s}) + c δ t_{r} - c δ t^{s} \\ = ρ_{r}^{s} + c δ t_{r} - c δ t^{s} \end{aligned}

dabei ist die geometrische Distanz $ρ_{r}^{s}$ ist folgt definiert:

ρ_{r}^{s} = \sqrt{(x^{s} - x_{r})^{2} + (y^{s} - y_{r})^{2} + (z^{s} - z_{r})^{2}}

Aus den Messungen zu vier Satelliten lassen sich die vier Unbekannten ( $x_{r}, y_{r}, z_{r}, δ t_{r}$ ) eindeutig bestimmen.

\begin{aligned} P_{r}^{s 1} & = \sqrt{(x^{s 1} - x_{r})^{2} + (y^{s 1} - y_{r})^{2} + (z^{s 1} - z_{r})^{2}} + c δ t_{r} - c δ t^{s 1} \\ P_{r}^{s 2} & = \sqrt{(x^{s 2} - x_{r})^{2} + (y^{s 2} - y_{r})^{2} + (z^{s 2} - z_{r})^{2}} + c δ t_{r} - c δ t^{s 2} \\ P_{r}^{s 3} & = \sqrt{(x^{s 3} - x_{r})^{2} + (y^{s 3} - y_{r})^{2} + (z^{s 3} - z_{r})^{2}} + c δ t_{r} - c δ t^{s 3} \\ P_{r}^{s 4} & = \sqrt{(x^{s 4} - x_{r})^{2} + (y^{s 4} - y_{r})^{2} + (z^{s 4} - z_{r})^{2}} + c δ t_{r} - c δ t^{s 4} \end{aligned}

Alle anderen Parameter werden aus der Navigations Message berechnet. Werden noch mehr als 4 Satelliten beobachtet, kann zusätzlich der Positionsfehler bestimmt werden (Ausgleichungsrechnung)

Die Chip-Länge beträgt beim Code ungefähr 293 m (1.023 MHz) und dadurch kann mit der Code-Messungen im Optimalfall eine Positionsgenauigkeit von 1 m erreicht werden.

Prinzip der GNSS Trägerphasenmessung

Anstatt den Code vergleichen wir jetzt die Phase des Signals mit der Referenz vom Empfänger $A$ : $ϕ_{A}^{j} = Φ_{0, A} - Φ_{G P S, A}^{j}$
Der Empfänger weiss jedoch nicht wie viel Phasenlagen vergangen sind, bevor das Signal den Empfänger erreicht. Dies ist die Phasenmehrdeutigkeit $N_{A}^{j}$ : $Φ_{G P S, A}^{j} = Φ_{A}^{G P S, j} - N_{A}^{j}$

Eingesetzt in die Gleichung der Phasenmessung:

\begin{aligned} ϕ_{A}^{j} & = Φ_{0, A} - Φ_{G P S, A}^{j} \\ = (f T_{A} + α_{A}) - (f T^{j} + α^{j} - N_{A}^{j}) \\ = f (T_{A} - T^{j}) + (N_{A}^{j} - α^{j} + α_{A}) \\ L_{A}^{j} & = λ ϕ_{A}^{j} \\ = c (T_{A} - T^{j}) + λ (N_{A}^{j} - α^{j} + α_{A}) \\ = c (T_{A} - T^{j}) + b_{A}^{j} \end{aligned}

Der Term $b_{A}^{j}$ wird "phasen bias" oder Mehrdeutigkeitsterm genannt und ist aufgrund der Instrumentenfehler $α_{A}$ und $α^{j}$ nicht ganzzahlig.

Weiter kann der Term $c (T_{A} - T^{j})$ durch die geometrische Distanz $ρ_{A}^{j}$ ersetzt:

L_{A}^{j} = ρ_{A}^{j} + c δ t_{A} - c δ t^{j} + b_{A}^{j}

Im Vergleich zur Code-Beobachtungsgleichung ist nun hier eine weitere Unbekannte $b_{A}^{j}$ die abgeschätzt werden muss. Sollte eine Signalunterbrechung stattfinden, muss ein neuer Wert für den "phasen bias" geschätzt werden.

Die Chiplänge von der Phase beträgt ungefähr 0.190 m.

Verbesserung des Beobachtungsmodells

Um wirklich hochgenaue Resultate zu erzielen, müssen weitere Terme mit einbezogen werden:

Tägliche Aberration (Lichtlaufzeit) $τ_{A}^{j}$
Signalverzögerung in der Troposphäre $δ ρ_{A, t r p}^{j}$
Signalverzögerung in der Ionosphäre $δ ρ_{A, i o n}^{j}$
Relativistische Effekte $δ ρ_{A, r e l}^{j}$
Einfluss von Multipath Effekte $δ ρ_{A, m u l}^{j}$

Mit all diesen weiteren Termen (und dem Messrauschen $ϵ_{A}^{j}$ ) sehen die Beobachtungsgleichungen wie folgt aus:

\begin{aligned} L_{A}^{j} & = | {\vec{r}}_{A} (t_{A}) - {\vec{r}}^{j} (t_{A} - τ_{A}^{j}) | + δ ρ_{A, t r p}^{j} + δ ρ_{A, i o n}^{j} + δ ρ_{A, r e l}^{j} + δ ρ_{A, m u l}^{j} + c δ t_{A} - c δ t^{j} + λ (N_{A}^{j} - α^{j} + α_{A}) + ϵ_{A}^{j} \\ P_{A}^{j} & = | {\vec{r}}_{A} (t_{A}) - {\vec{r}}^{j} (t_{A} - τ_{A}^{j}) | + δ ρ_{A, t r p}^{j} - δ ρ_{A, i o n}^{j} + δ ρ_{A, r e l}^{j} + δ ρ_{A, m u l, C}^{j} + c δ t_{A} - c δ t^{j} - c β^{j} + c β_{A} + ϵ_{A, C}^{j} \end{aligned}

Diese Berechnung vernachlässigt die Eigenbewegung des Satelliten, korrekt wäre es anstatt die geometrische Distanz zwischen Empfänger und Satellit zum Empfangszeitpunkt zu berechnen, die Lichtlaufzeit zwischen Signalaussendung und Signalempfang zu beachten.

Unterschiede zwischen Phasen- ( $L_{A}^{j}$ ) und Codemessung ( $P_{A}^{j}$ ):

Messrauschen: 1-2 mm für Phase, 1-2 m für Code
Ionosphäre: Die ionosphärische Refraktion hat bei Phasen- und Code-Messungen ein umgekehrtes Vorzeichen
Mehrdeutigkeit: Die Code-Messungen enthalten keine Mehrdeutigkeit
Multipath: Bei Phasenmessungen bis ca. 5 cm ( $\approx \frac{1}{4} λ$ ), bei Code-Messungen bis ca. 100m