Beobachtungsgleichung

Phase:
$L_{A}^{j} = | {\vec{r}}_{A} (t_{A}) - {\vec{r}}^{j} (t_{A} - τ_{A}^{j}) | + δ ρ_{A, t r p}^{j} + δ ρ_{A, i o n}^{j} + δ ρ_{A, r e l}^{j} + δ ρ_{A, m u l}^{j} + c δ t_{A} - c δ t^{j} + λ (N_{A}^{j} - α^{j} + α_{A}) + ϵ_{A}^{j}$
Code:
$P_{A}^{j} = | {\vec{r}}_{A} (t_{A}) - {\vec{r}}^{j} (t_{A} - τ_{A}^{j}) | + δ ρ_{A, t r p}^{j} - δ ρ_{A, i o n}^{j} + δ ρ_{A, r e l}^{j} + δ ρ_{A, m u l, C}^{j} + c δ t_{A} - c δ t^{j} - c β^{j} + c β_{A} + ϵ_{A, C}^{j}$

$L_{A}^{j}$ : Phasenbeobachtung (Carrier Phase) zwischen Empfänger $A$ und Satellit $j$ in Metern.
$P_{A}^{j}$ : Pseudostreckenbeobachtung (Code-Messung) zwischen Empfänger $A$ und Satellit $j$ .
$| {\vec{r}}_{A} (t_{A}) - {\vec{r}}^{j} (t_{A} - τ_{A}^{j}) |$ : Geometrische Distanz zwischen Empfänger $A$ zum Empfangszeitpunkt $t_{A}$ und Satellit $j$ zum Sendezeitpunkt.
$δ ρ_{A, t r p}^{j}$ : Korrekturterm für die troposphärische Verzögerung.
$δ ρ_{A, i o n}^{j}$ : Korrekturterm für die ionosphärische Refraktion (negatives Vorzeichen bei Phase, positives bei Code).
$δ ρ_{A, r e l}^{j}$ : Korrekturterm für relativistische Effekte.
$δ ρ_{A, m u l}^{j}$ / $δ ρ_{A, m u l, C}^{j}$ : Fehler durch Mehrwegeausbreitung (Multipath) für Phase bzw. Code.
$c δ t_{A}$ : Empfängeruhrfehler (Lichtgeschwindigkeit $\times$ Zeitoffset).
$c δ t^{j}$ : Satellitenuhrfehler (Lichtgeschwindigkeit $\times$ Zeitoffset).
$λ$ : Wellenlänge des Trägersignals.
$N_{A}^{j}$ : Ganzzahlige Phasenmehrdeutigkeit (Integer Ambiguity).
$α^{j}$ / $α_{A}$ : Initiale Phasenverschiebungen des Satelliten- bzw. Empfängeroszillators.
$c β^{j}$ / $c β_{A}$ : Instrumentelle Hardware-Verzögerungen (Hardware-Biases) für Codemessungen.
$ϵ_{A}^{j}$ / $ϵ_{A, C}^{j}$ : Verbleibendes Messrauschen und nicht modellierte Restfehler.

Differenzbildung

TL;DR Differenzbildung im Überblick

Eigenschaft	Einfache Differenz (SD)	Doppeldifferenz (DD)	Dreifachdifferenz (TD)
Kombination	2 Empfänger ( $A, B$ ), 1 Satellit ( $j$ )	2 Empfänger ( $A, B$ ), 2 Satelliten ( $j, k$ )	DD von Epoche $t_{i}$ minus DD von Epoche $t_{i + 1}$
Eliminiert	Satellitenuhrfehler ( $c δ t^{j}$ )	+ Empfängeruhrfehler ( $c δ t_{A}$ )	+ Phasenmehrdeutigkeit ( $N_{A B}^{j k}$ )
Reduziert	Satellitenbahnfehler, Troposphäre, Ionosphäre	(Gleiche wie SD)	(Gleiche wie SD)
Rauschen	$\sqrt{2} \cdot σ$	$2 \cdot σ$	$2 \sqrt{2} \cdot σ \approx 2.82 \cdot σ$
Besonderheit	Schätzung der relativen Position (Basislinie)	Ganzzahlige Mehrdeutigkeit ( $λ \nabla Δ N$ )	Detektion von Cycle Slips
Voraussetzung	Gleichzeitige Beobachtung	Synchronisierte Beobachtung ( $< 0.3 μ s$ )	Beobachtung über mehrere Epochen

Die grundlegende Idee der Differenzbildung basiert darauf zwei Messungen von verschiedenen Empfängern (A und B) voneinander abzuziehen, daraus bekommt man nicht mehr die absolute Position sondern die relative Position vom Rover zur Basistation.

Einfache Differenzen (Single Differences)

Hier wird der Satellitenuhrfehler $δ t^{j}$ eliminiert, die Differenz zweier Gleichungen gibt:

\begin{aligned} Δ L_{A B}^{j} & = L_{A}^{j} - L_{B}^{j} \\ = (ρ_{A}^{j} + δ ρ_{A}^{j} + c δ t_{A} - c δ t^{j} + b_{A}^{j} + ϵ_{A}^{j}) - \\ (ρ_{B}^{j} + δ ρ_{B}^{j} + c δ t_{B} - c δ t^{j} + b_{B}^{j} + ϵ_{B}^{j}) \\ = Δ ρ_{A B}^{j} + Δ δ ρ_{A B}^{j} + c Δ δ t_{A B} + Δ b_{A B}^{j} + Δ ϵ_{A B}^{j} \end{aligned}

Das $Δ$ bezeichnet die Differenz zwischen den zwei Station A und B. Der Satellitenuhrfehler wird tatsächlich nicht vollständig eliminiert, da je nach Abstand der Empfänger wurde das Signal etwas früher oder später ausgesandt. In der Zwischenzeit hat sich auch der Uhrfehler verändert, das wir in der Praxis meist vernachlässigt da der Effekt unter 1 mm beträgt.

Bei kurzen Basislinien werden auch andere "gemeinsame" Fehler stark reduziert:

Satellitenbahnfehler
Troposphärische Verzögerung
Ionosphärische Verzögerung
Relativistische Effekte

Multipath wird allerdings nicht verringert, und das Messrauschen erhöht sich um $\sqrt{2}$ :

σ (Δ ϵ_{A B}^{j}) = \sqrt{σ (ϵ_{A}^{j})^{2} + σ (ϵ_{B}^{j})^{2}} \approx \sqrt{2 σ (ϵ_{A}^{j})^{2}} = \sqrt{2} σ (ϵ_{A}^{j})

Doppeldifferenzen (Double Differences)

Hier wird die Differenz gebildet aus Beobachtungen zweier Satelliten (j und k), die von zwei Empfängern (A und B) gemacht werden. Quasi die Differenz aus zwei einfachen Differenzen.
Dadurch wird zusätzlich auch noch der Empfängeruhrfehler eliminiert.

\begin{aligned} \nabla Δ L_{A B}^{j k} & = Δ L_{A B}^{j} - Δ L_{A B}^{k} \\ = (Δ ρ_{A B}^{j} + Δ δ ρ_{A B}^{j} + c Δ δ t_{A B} + Δ b_{A B}^{j} + Δ ϵ_{A B}^{j}) - \\ (Δ ρ_{A B}^{k} + Δ δ ρ_{A B}^{k} + c Δ δ t_{A B} + Δ b_{A B}^{k} + Δ ϵ_{A B}^{k}) \\ = \nabla Δ ρ_{A B}^{j k} + \nabla Δ δ ρ_{A B}^{j k} + \nabla Δ b_{A B}^{j k} + \nabla Δ ϵ_{A B}^{j k} \end{aligned}

Hier wird die Doppeldifferenz mit $\nabla Δ$ bezeichnet. Obschon der Empfängeruhrfehler vollständig eliminiert wird, müssen wir diesen mit einer Genauigkeit von $0.3 μ s$ kennen, damit wir auch wirklich die "gleichen" Messungen kombinieren, die sich auf den gleichen Aussendezeitpunkt und somit auf die gleiche Satellitenposition beziehen.

Ein weiterer Vorteil der Doppeldifferenz ist, dass sich die Instrumentenfehler herauskürzen und dadurch der Mehrdeutigkeitsterm ganzzahlig wird.

\begin{aligned} \nabla Δ b_{A B}^{j k} & = + λ (N_{A}^{j} - α^{j} + α_{A}) \\ - λ (N_{B}^{j} - α^{j} + α_{B}) \\ - λ (N_{A}^{k} - α^{k} + α_{A}) \\ + λ (N_{B}^{k} - α^{k} + α_{B}) \\ = λ (N_{A}^{j} - N_{B}^{j} - N_{A}^{k} + N_{B}^{k}) \\ = λ \nabla Δ N_{A B}^{j k} \end{aligned}

Das Messrauschen der Doppeldifferenz ist gegenüber den ursprünglichen Messungen um den Faktor 2 erhöht.

\begin{aligned} σ (\nabla Δ ϵ_{A B}^{j k}) & = \sqrt{σ (ϵ_{A}^{j})^{2} + σ (ϵ_{B}^{j})^{2} + σ (ϵ_{A}^{k})^{2} + σ (ϵ_{B}^{k})^{2}} \\ \approx \sqrt{4 σ (ϵ_{A}^{j})^{2}} = 2 σ (ϵ_{A}^{j}) \end{aligned}

Dreifachdifferenzen (Tripple Differences)

Hier werden zwei aufeinanderfolgende Doppeldifferenzen miteinander differenziert, von den Epochen $t_{i}$ und $t_{i + 1}$ . Das führt dazu, dass die unbekannte Mehrdeutigkeit eliminiert wird.

\begin{aligned} \nabla Δ L_{A B}^{j k} (t_{i}, t_{i + 1}) & = \nabla Δ L_{A B}^{j k} (t_{i}) - \nabla Δ L_{A B}^{j k} (t_{i + 1}) \\ = \nabla Δ ρ_{A B}^{j k} (t_{i}, t_{i + 1}) + \nabla Δ δ ρ_{A B}^{j k} (t_{i}, t_{i + 1}) \\ + \nabla Δ ϵ_{A B}^{j k} (t_{i}, t_{i + 1}) \end{aligned}

Cycle Slips zeigen sich als Fehlmessungen, was interessant sein kann für die Vorverarbeitung der GNSS-Dateien.

Das Messrauschen wird jetzt um den Faktor $2 \sqrt{2} = 2.82$ erhöht.

Differenzbildung bei GLONASS-Messungen

Da bei GLONASS die Satelliten über Frequenzdifferenzen identifiziert werden, und der Einfluss von der Ionosphäre frequenzabhängig ist, ändert sich die Formel für die Doppeldifferenz im Mehrdeutigkeitsterm.

\begin{aligned} \nabla Δ b_{A B}^{j k} & = + λ^{j} (N_{A}^{j} - α^{j} + α_{A}) \\ - λ^{j} (N_{B}^{j} - α^{j} + α_{B}) \\ - λ^{k} (N_{A}^{k} - α^{k} + α_{A}) \\ + λ^{k} (N_{B}^{k} - α^{k} + α_{B}) \\ = λ^{j} (N_{A}^{j} - N_{B}^{j}) - λ^{k} (N_{A}^{k} - N_{B}^{k}) + Δ λ^{j k} (α_{A} - α_{B}) \\ = λ^{j} (N_{A}^{j} - N_{B}^{j}) - λ^{j} (N_{A}^{k} - N_{B}^{k}) \\ + (λ^{j} - λ^{k}) (N_{A}^{k} - N_{B}^{k}) + Δ λ^{j k} (α_{A} - α_{B}) \\ = λ^{j} \nabla Δ N_{A B}^{j k} + Δ λ^{j k} Δ N_{A B}^{k} + Δ λ^{j k} (α_{A} - α_{B}) \end{aligned}

Mit $Δ λ^{j k} = λ^{j} - λ^{k}$ , der Term $Δ λ^{j k} Δ N_{A B}^{k}$ zerstört dabei die Ganzzahligkeit der Mehrdeutigkeit.

Absolute Positionierung vs Relative Positionierung

Absolute Positionierung

Methode	Beob.typ	Genauigkeit	Anmerkung
1-Frequenz	Code	+/- 3-5 m	Echtzeit
+ GBAS/SBAS	Code	+/- 1 m Lage +/- 2 m Höhe	Echtzeit
+ Kommerz. Produkte Galileo HAS	Code + Phase	+/- 1 dm	global, SIS, 15-30 min Konvergenzzeit
2-Frequenz (PPP)	Code + Phase	wenige cm	global, RTCM, 15-30 min Konvergenzzeit

Relative Positionierung

Methode	Beob.typ	Genauigkeit	Anmerkung
DGNSS (Differential GNSS)	Code	+/- 50 cm Lage +/- 80 cm Höhe	Echtzeit
RTK (Real Time Kinematic)	Code + Phase	+/- 1 cm Lage +/- 3-4 cm Höhe	Fast-Echtzeit, Initialisierungszeit < 1min
Post-Processing	Code + Phase	+/- wenige mm	Abhängig von Qualität der Bahnen, Uhren, etc.