Beobachtungsgleichung

Phase:
$L_{A}^{j} = | {\vec{r}}_{A} (t_{A}) - {\vec{r}}^{j} (t_{A} - τ_{A}^{j}) | + δ ρ_{A, t r p}^{j} + δ ρ_{A, i o n}^{j} + δ ρ_{A, r e l}^{j} + δ ρ_{A, m u l}^{j} + c δ t_{A} - c δ t^{j} + λ (N_{A}^{j} - α^{j} + α_{A}) + ϵ_{A}^{j}$
Code:
$P_{A}^{j} = | {\vec{r}}_{A} (t_{A}) - {\vec{r}}^{j} (t_{A} - τ_{A}^{j}) | + δ ρ_{A, t r p}^{j} - δ ρ_{A, i o n}^{j} + δ ρ_{A, r e l}^{j} + δ ρ_{A, m u l, C}^{j} + c δ t_{A} - c δ t^{j} - c β^{j} + c β_{A} + ϵ_{A, C}^{j}$

$L_{A}^{j}$ : Phasenbeobachtung (Carrier Phase) zwischen Empfänger $A$ und Satellit $j$ in Metern.
$P_{A}^{j}$ : Pseudostreckenbeobachtung (Code-Messung) zwischen Empfänger $A$ und Satellit $j$ .
$| {\vec{r}}_{A} (t_{A}) - {\vec{r}}^{j} (t_{A} - τ_{A}^{j}) |$ : Geometrische Distanz zwischen Empfänger $A$ zum Empfangszeitpunkt $t_{A}$ und Satellit $j$ zum Sendezeitpunkt.
$δ ρ_{A, t r p}^{j}$ : Korrekturterm für die troposphärische Verzögerung.
$δ ρ_{A, i o n}^{j}$ : Korrekturterm für die ionosphärische Refraktion (negatives Vorzeichen bei Phase, positives bei Code).
$δ ρ_{A, r e l}^{j}$ : Korrekturterm für relativistische Effekte.
$δ ρ_{A, m u l}^{j}$ / $δ ρ_{A, m u l, C}^{j}$ : Fehler durch Mehrwegeausbreitung (Multipath) für Phase bzw. Code.
$c δ t_{A}$ : Empfängeruhrfehler (Lichtgeschwindigkeit $\times$ Zeitoffset).
$c δ t^{j}$ : Satellitenuhrfehler (Lichtgeschwindigkeit $\times$ Zeitoffset).
$λ$ : Wellenlänge des Trägersignals.
$N_{A}^{j}$ : Ganzzahlige Phasenmehrdeutigkeit (Integer Ambiguity).
$α^{j}$ / $α_{A}$ : Initiale Phasenverschiebungen des Satelliten- bzw. Empfängeroszillators.
$c β^{j}$ / $c β_{A}$ : Instrumentelle Hardware-Verzögerungen (Hardware-Biases) für Codemessungen.
$ϵ_{A}^{j}$ / $ϵ_{A, C}^{j}$ : Verbleibendes Messrauschen und nicht modellierte Restfehler.

Linearkombinationen

TL;DR Linearkombinationen im Überblick

Name	Formel / Koeffizienten	Eliminiert / Behält	Hauptvorteil	Rauschen / Multipath
Ionosphären-frei ( $L_{c}$ )	$κ_{1, c} L_{1} + κ_{2, c} L_{2}$	Eliminiert: Ionosphäre (99.9%) Behält: Geometrie	Standard für lange Basislinien (>10km) & PPP	Hoch (Faktor ~3 / ~4)
Geometrie-frei ( $L_{I}$ )	$L_{1} - L_{2}$	Eliminiert: Geometrie (Tropos., Bahnen) Behält: Ionosphäre	Cycle Slip Detektion & Ionosphären-Monitoring	Mittel (Faktor ~1.4 / ~2)
Widelane ( $L_{w}$ )	$\frac{f_{1} \cdot L_{1} - f_{2} \cdot L_{2}}{f_{1} - f_{2}}$	Behält: Geometrie & Ionosphäre Wellenlänge: $λ_{w} \approx 86 cm$	Erleichtert Mehrdeutigkeitslösung ( $N_{w} = N_{1} - N_{2}$ )	Sehr hoch (Faktor ~5.7 / ~9)
Narrowlane ( $L_{n}$ )	$\frac{f_{1} \cdot L_{1} + f_{2} \cdot L_{2}}{f_{1} + f_{2}}$	Behält: Geometrie & Ionosphäre Wellenlänge: $λ_{n} \approx 11 cm$	Geringeres Messrauschen für präzise Endlösung	Gering (Faktor ~0.7)
Melbourn-Wübbena	$L_{w} - P_{w}$	Eliminiert: Geometrie & Ionosphäre Behält: Nur Mehrdeutigkeit ( $N_{w}$ )	Direkte Bestimmung der Widelane-Mehrdeutigkeit	Extrem hoch (Code-basiert)

Das Prinzip der Linearkombination $L_{x}$ basiert darauf, zwei Beobachtungen ( $L_{1}$ und $L_{2}$ ) auf verschiedenen Frequenzen ( $f_{1}$ und $f_{2}$ ) zu kombinieren.

L_{x} = κ_{1, x} L_{1} + κ_{2, x} L_{2}

Die Koeffizienten ( $κ_{1, x}$ und $κ_{2, x}$ ) bestimmen die Eigenschaften, oder welche Linearkombination gebildet wird. Die Beobachtungen ( $L_{1}$ und $L_{2}$ ) können Code- oder Phasenmessungen sein.

Allgemeine Lösung

Die Beobachtungsgleichung kann wie folgt dargestellt werden, mit der Mehrdeutigkeit:

\begin{aligned} L_{1} & = ρ^{'} + I_{1} + λ_{1} N_{1} \\ L_{2} & = ρ^{'} + I_{2} + λ_{2} N_{2} \end{aligned}

Der Nicht-dispersive Anteil (Geometrie) ist dabei wie folgt:

ρ^{'} = ρ + δ ρ_{t r p} + δ ρ_{r e l}

Die ionosphärische Verzögerung kommt dabei zusammen wie folgt:

\begin{aligned} I_{1} & = k / f_{1}^{2} \\ I_{2} & = k / f_{2}^{2} \end{aligned}} ⟹ I_{2} = \frac{f_{1}^{2}}{f_{2}^{2}} I_{1}

Die allgemeine Lösung ergibt sich daraus:

\begin{aligned} L_{x} & = κ_{1, x} (ρ^{'} + I_{1} + λ_{1} N_{1}) + κ_{2, x} (ρ^{'} + I_{2} + λ_{2} N_{2}) \\ = (κ_{1, x} + κ_{2, x}) ρ^{'} + (κ_{1, x} I_{1} + κ_{2, x} I_{2}) + (κ_{1, x} λ_{1} N_{1} + κ_{2, x} λ_{2} N_{2}) \end{aligned}

Weitere Eigenschaften

Rauschen

Das Rauschen einer Linearkombination ist gegeben durch:

\begin{aligned} σ (L_{x}) & = \sqrt{κ_{1, x}^{2} σ (L_{1})^{2} + κ_{2, x}^{2} σ (L_{2})^{2}} \\ σ (L_{1}) & \approx σ (L_{2}) \end{aligned}} ⟹ σ (L_{x}) \approx \sqrt{κ_{1, x}^{2} + κ_{2, x}^{2}} \cdot σ (L_{1})

Mehrwegeeffekte

Mehrwegeffekte werden verstärkt, je nach Wahl der Koeffizienten:

m p (L_{x}) = | κ_{1, x} \cdot m p_{1} | + | κ_{2, x} \cdot m p_{2} |

Ionosphäreneinfluss

Der Ionosphäreneinfluss ist um den Faktor $α_{I}$ grösser:

α_{I} = κ_{1, x} + κ_{2, x} \frac{f_{1}^{2}}{f_{2}^{2}}

Verschiedene Linearkombinationen

Geometrie-freie Linearkombination

Koeffizienten: $κ_{1, x} = 1$ und $κ_{2, x} = - 1$

L_{I} = L_{1} - L_{2} = (ρ^{'} + I_{1} + λ_{1} N_{1}) - (ρ^{'} + \frac{f_{1}^{2}}{f_{2}^{2}} I_{1} + λ_{2} N_{2}) = (1 - \frac{f_{1}^{2}}{f_{2}^{2}}) I_{1} + (λ_{1} N_{1} - λ_{2} N_{2})

Der nicht-dispersive Anteil wird eliminiert, übrig bleibt die ionosphärische Refraktion und die Mehrdeutigkeit.

Anwendung: Informationen über den Zustand der Ionosphäre, Detektion und Korrekturen von Cycle Slips

Nachteil: höheres Signalrauschen (Faktor 1.4), höhere Multipath Effekte (Faktor 2)

Widelane Linearkombination

Koeffizienten: $κ_{1, x} = \frac{f_{1}}{f_{1} - f_{2}}$ und $κ_{2, x} = - \frac{f_{2}}{f_{1} - f_{2}}$

L_{w} = \frac{f_{1}}{f_{1} - f_{2}} L_{1} - \frac{f_{2}}{f_{1} - f_{2}} L_{2} = ρ^{'} - \frac{f_{1}}{f_{2}} I_{1} + \frac{c}{f_{1} - f_{2}} (N_{1} - N_{2})

Da die Summe der Koeffizienten gleich 1 ist, bleiben alle Anteile erhalten. Die Wellenlänge erhöht sich (bei GPS L1 und L2 um den Faktor ~4.5 mit $λ_{w}$ ~86 cm)

Anwendung: Mehrdeutigkeitslösung für widelane Ambiguity $N_{w} = N_{1} - N_{2}$

Nachteil: höheres Signalrauschen (Faktor 5.7), höhere Multipath Effekte (Faktor 9)

Melbourn-Wübbena Linearkombination

Koeffizienten: $κ_{1, x} = \frac{f_{1}}{f_{1} - f_{2}}$ und $κ_{2, x} = - \frac{f_{2}}{f_{1} - f_{2}}$

M W = L_{w} - P_{w} = λ_{w} (N_{1} - N_{2})

Berechnet aus den Widelane Linearkombinationen aus Phase und Code. Es bleibt nur noch die widelane Mehrdeutigkeit mit der Wellenlänge $λ_{w}$

Anwendung: Mehrdeutigkeitslösung für die widelane Ambiguity $N_{w}$ , Detektion von Cycle Slips

Nachteil: sehr hohes Signalrauschen (hängt vom Code-Rauschen ab, Faktor 100)

Ionosphären-freie Linearkombination

Koeffizienten: $κ_{1, x} = \frac{f_{1}^{2}}{f_{1}^{2} - f_{2}^{2}}$ und $κ_{2, x} = - \frac{f_{2}^{2}}{f_{1}^{2} - f_{2}^{2}}$

\begin{aligned} L_{c} & = κ_{1, c} L_{1} + κ_{2, c} L_{2} \\ = κ_{1, c} (ρ^{'} + I_{1} + λ_{1} N_{1}) + κ_{2, c} (ρ^{'} + \frac{f_{1}^{2}}{f_{2}^{2}} I_{1} + λ_{2} N_{2}) \\ = ρ^{'} + (κ_{1, c} λ_{1} N_{1} + κ_{2, c} λ_{2} N_{2}) \end{aligned}

Die ionosphärische Refraktion wird eliminiert (99.9%). Was übrig bleibt ist der nicht-dispersive Anteil und die Mehrdeutigkeit.

Anwendung: Die wichtigste Beobachtung für die Auswertung von Basislinien (>10 km)

Nachteil: höheres Signalrauschen (Faktor 3), höhere Multipath Effekte (Faktor 4)

Narrowlane Linearkombination

Koeffizienten: $κ_{1, x} = \frac{f_{1}^{2}}{f_{1}^{2} - f_{2}^{2}}$ und $κ_{2, x} = - \frac{f_{2}^{2}}{f_{1}^{2} - f_{2}^{2}}$

\begin{aligned} L_{c} & = κ_{1, c} L_{1} + κ_{2, c} L_{2} \\ = κ_{1, c} (ρ^{'} + I_{1} + λ_{1} N_{1}) + κ_{2, c} (ρ^{'} + \frac{f_{1}^{2}}{f_{2}^{2}} I_{1} + λ_{2} N_{2}) \\ = ρ^{'} + (κ_{1, c} λ_{1} + κ_{2, c} λ_{2}) N_{1} - κ_{2, c} λ_{2} N_{w} \end{aligned}

Die Erweiterung $N_{2} = N_{1} - N_{w}$ hat zur Folge, dass die 2 Mehrdeutigkeitsterme erhalten bleiben.

Anwendung: Signalrauschen wird geringen (Faktor 0.8) und dadurch wird die Lösung genauer.

Nachteil: Auf Grund der Kleineren Wellenlänge sind die Mehrdeutigkeiten schwieriger zu bestimmen.

Überblick von Linearkombinationen

Parameter	$L_{1}$	$L_{2}$	$L_{c}$	$L_{I}$	$L_{w}$
$λ$ (m)	0.190	0.244	0.107	0.054	0.862
$κ_{1, x}$ (m/m)	+1.000	0.000	+2.546	+1.000	+4.529
$κ_{2, x}$ (m/m)	0.000	+1.000	-1.546	-1.000	-3.529
Geometriefehler (m)	1.000	1.000	1.000	0.000	1.000
Geometriefehler (cyc)	1.000	0.779	1.779	0.000	0.221
Ionosphärenfehler (m)	+1.000	+1.647	0.000	-0.647	-1.283
Ionosphärenfehler (cyc)	+1.000	+1.283	0.000	-2.283	-0.283
Rauschen (m)	1.000	1.000	2.978	1.414	5.742
Rauschen (cycles)	1.000	0.779	5.299	4.991	1.268

Geometriefehler (m): Absoluter Fehler (relativ zu $L_{1}$ )
Geometriefehler (cycles): Bezogen auf die Wellenlänge ( $L_{1}$ )